Algorithme 666 pour calculer racine carrée de 2 et 3

L’œuvre et sa mise en forme décrivent une méthode de calcul (un algorithme) de la racine carrée de 2.
La diagonale d'un carré est le produit de son côté par la racine carrée de 2.
Ainsi le carré dont le côté est la diagonale d'un premier carré (en rouge) a une surface double.

En comparant cette figure  avec la répartition des vers sur les 7 tablettes de la création, on voit que la valeur de √2 est atteinte quand a-b=0:  on considère  au départ que 21/15 est la racine carrée de 2.La somme 21+15 = 36 est abstraite: c'est la variable comme 21-15=6. Par calculs successifs le petit carré central diminue et la valeur de l'approximation , se rapproche de la vraie valeur, au milieu 18. Mais il s'agit toujours d'un rapport= √2.

21 est une approximation de 15 x √2 (21/15=1,4).

En remplaçant 15 et 21 par 1 et √2, on obtient:

Le résultat exact de √2 n'est jamais atteint puisque c'est un nombre irrationnel. Mais plus la différence a-b est faible, plus on approche la valeur exacte de √2.

L'algorithme commence avec a-b= √2-1:

•  la première approximation de √2 est 1 si on arrondit la différence a-b à 0
• (√2-1)^² =3-2√2
• on remplace les valeurs  1 et √2 (initialement 15 et 21)par les nouvelles valeurs  2√2 et 3
• (3-2√2)^²= 17-12√2. On obtient une nouvelle approximation: si 17-12√2 =0 -> √2=17/12=1,41666...
•  (17-12√2)^²= 577-408√2 -> approximation √2=1,4142...
•  (577-408√2)^²= 665857-470832√2 ->approximation exacte à 11 décimales près: 1,41421356237...

On peut continuer indéfiniment. La limite du système est celle du temps pris pour faire une multiplication à la main.

Explications

A défaut de textes de cette époque exposant ces résultats, la compréhension de ce mode de calcul par les mésopotamiens reste une supposition accréditée par le fait qu'ils construisent le texte selon 3 approximations de la racine de 2 et qu'en exposant ainsi le principe de leurs mathématiques, ils sont au sens propre en phase avec le sujet du récit, la création du monde comme s'il s'agissait d'une construction géométrique.. Dans l'article sur le théorème de Pythagore, j'essaie d'analyser la figure générale avec en particulier la description de l'Apsû et de sa réplique au ciel, l'Ešarra.

Si la compréhension arithmétique du procédé ci-dessus est simple, sa représentation mentale est a priori moins évidente.

Cette méthode reprend en l'améliorant une autre qui repose, elle aussi, sur le principe de l'erreur admise.Il s'agit de la représentation géométrique d'une suite logique dite des "fractions continues"On représente un rectangle conme une suite de carrés: il reste toujours une fraction représentée par les 2 cotés d'un rectangle que l'on peut à nouveau découper.

Ce modèle géométrique, sur lequel est fondée le raisonnement, est repris pour la structure du récit:

le dessin de la racine carrée de 2:

il s'agit d'un rectangle de largeur 1 et de longueur √2.

De cette surface, on en connaît déjà plus de la moitié, 1x1=1, on cherche donc le reste (√2-1)x1, c'est = √2-1.
On en enlève un carré (√2-1)^² =3-2√2
Il reste un rectangle long de 1-(√2-1) sur √2-1= (2-√2) x (√2-1)= 3√2-4= √2 x(3-2√2)
On en extrait un second carré (√2-1)², on obtient un nouveau reste, un rectangle de 3-2√2 sur √2-1 Sa surface est 5√2-7 .
On continue ainsi, dans chaque reste on forme 2 carrés et un nouveau reste.
Cela donne la suite:

• 1 et un reste √2-1
• 2 carrés (√2-1)² et un nouveau reste 3-2√2 sur √2-1= 5√2-7
• 2 carrés (3-2√2)² et un nouveau reste  29√2-41
• 2 carrés (5√2-7)² et un nouveau reste (17-12√2) x (5√2-7)....

On voit la correspondance avec l'Enuma Eliš:

• tablettes 1à7= √2 et tablettes 1à 6 = carré 1x1

puis, à nouveau

• tablettes 1,2 et 3: 900 ou 30x30 le premier carré
• tablettes 4,5 et 6: 36 + 900 le second carré
• tablette 7: les 2 nouveaux carrés, 2x 81 dont il manque le reste placé au début de T4

On obtient à chaque fois des approximations de plus en plus précises: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29...

Notation de la racine de 2 et mécanisme de l'algorithme 666

 Notre notation pour la racine de 2 n'existant pas, le plus simple était d'utiliser une valeur approchée comme métaphore. Ici le rapport 21/15.
Son intérêt est que la différence , 6, a tous les aspect de notre nombre "x" désignant l'inconnu, 6, ou Ash en sumérien étant homophone du coin allongé signifiant "dedans"ina en akkadien.
Pour noter le rapport en base 60, on le multiplie  jusqu'à obtenir un nombre entier sur une puissance de la base: 84/60, noté 1 24 à comprendre 1x60+24.
Un simple grigri sur la tablette (un gunu dans le graphisme du cunéiforme)comme cela se pratiquait pour certains signes aurait fait l'affaire.

Faisons une multiplication de l'algorithme:

[3 -2(21/15)] x [3 -2(21/15)] = 9 - 2x6(21/15) + 4(21/15)(21/15)
                                                      = 9 - 2x6(21/15) + 4x 2
C'est en transformant le carré de l'approximaton par la valeur recherchée "2" qu'on approche le résultat.

Généralisation au calcul des racines carrés

Il suffit donc de remplacer le carré 2 par celui dont on cherche la racine et le couple 21/15 par une fraction proche du résultat recherchée pour  obtenir le résultat. (j'ai pas encore essayé)
ex: la racine de 610,
valeur approchée 25 (25x25=625)
rapport 50/2
(50-2√610)² = 4940-200√610
j'obtiens au premier coup 4940/200=24,7,
On vérifie que 24,7² = 610,09
 puis on continue (si besoin)avec ce nouveau rapport

Intérêt du théorème de Pythagore

La figure n'est pas nécessaire à la mise en oeuvre de l'algorithme.
On peut le démarrer soit avec l'approximation 5 et 7 soit avec 6 et 4.
La première est donnée par le premier vers du groupe T123 qui décrit l'Apsû: il est séparé en 5 et 7 hémistiches
La seconde par le premier vers du second groupe T456 qui décrit l' Esharra, réplique au ciel de l'Apsû, formé de 4 et 6 hémistiches.
Avec 5 et 7 on arrive en 2 coups à 1,4142135...

• (5√2-7)² = 99-70√2
• (99-70√2)²= 19601-13860√2         19601/13860=1,4142135

Mais c'est la représentation du carré 666 selon le principe du théorème de Pythagore qui permet de comprendre que le résultat sera atteint quand le petit carré central, de côté a-b, sera égal à zéro. Dans le  récit de création il correspond aux 36 hémistiches de la montée sur l'estrade royale (Marduk est désigné par ses pairs pour affronter la matrice Ti-amat).Cette estrade se situe à l'endroit où Ciel est Terre seront séparée pour former le monde des hommes.
Marduk est alors glorifié.
La racine de 2 est atteinte comme s'il s'agissait de la compréhension du monde. Le carré central en diagonale de surface moitié de celui dans lequel il est inclus est tracé. La valeur 36 se retrouve en périphérie dans le restant des eaux qui entourent la création.
Ce sont les petits triangles violets dans les 6 fois 66 unités 3600 en bleu ci-dessous.
On se rappelle les connotations numériques de l'article sur les métaphores:

• 6 = ASH ina: "dans"
• 36=HAL puzru: "secret"
• 36x60= DINGIR ilu: "dieu"
• 66= ME homophone de l'akkadien me: les eaux
• 6x66= "dans les eaux" 
• 666= IGI oeil voir (identique au signe LIM 1000)
• shamu le "ciel", s'entend comme SHA MU, entrailles des noms, des années, des lignes de texte, des eaux

Le parcourt qui relie le centre au nouvel emplacement de la valeur 36, forme 4 signes igi (pictogrammes), les 4 yeux de Marduk tel qu'il est décrit à sa naissance vers 81 et 82. C'est ce que nous indique les 2 vers supplémentaires: 1081 et 1082 que l'on comprend IGI 81 et IGI 82. (IGI=LIM=1000). On revient au début de l'algorithme, le fils est devenu le père.

L'année MU

Autrement dit, il s'agissait d'inclure 4 racines carrées de 2, représentées par des rectangles 21x15 (x60x60) dans un carré de côté 36:

En base  60 cela corresond à une longueur 21 (car 4x15=60=1unité)

Mais 21x60 = 1260 alors que 36x36=1296: il manque 36

Chacune de ces racines préside au bon fonctionnement des 4 régions du monde (kibrât erbetti) qui constituent la surface du monde, l'IKU. C'est le tracé de 4 diagonales 450.

C'est au milieu de ce carré où il manque 36 que naît Marduk. Les dieux en font leur champion: 36 est l'estrade royale. Il solutionne l'équation en formant ciel et terre. Il prend alors place au ciel, qui sont les abîmes environnant l'univers.De cette demeure il contemple son oeuvre et surveille son bon fonctionnement.
Des abîmes, 6x66 on retire 36 où demeure Marduk(image ci-dessous:glorification).

 (images à revoir avec quadrillage 36x36)
Il reste 360, l'année MU est formée avec ses 12 mois de 30 jours.  Le fils est devenu père.

Pour Bérose, prêtre mésopotamien de la fin du premier millénaire s'exprimant en grec,  la durée du monde était de 12x12x3600 années.
En considérant une longueur comme une bande large d'une unité, cela correspond au périmètre de ce carré de côté 36 (x60) en nombre de petits carreaux 60x60.
Pour ce savant les éléments de ce récit, la matrice..., étaient des métaphores. On remarque d'ailleurs qu'il faut enlever à la longueur de ce périmètres les 4 coins, soit 1 IKU= 4x3600.
Tout reste à faire ce n'était que le premier jour de l'an.

Tout se recoupe si bien qu'il n'est pas probable que cela soit sorti du chapeau de quelque grand savant (AZUGAL en sumérien).
La durée du monde semble aussi à prendre au figuré: à cette époque les 11 douzièmes se seraient déjà écoulés. La place de Marduk au ciel entourant le carré 30x30 correspond au douzième de l'année.

Choix des approximations.

le rapport 7/5 qui sont les cotes de l'Apsû, s'écrit 1-24 en base 60 cunéiforme. Dans ce système c'est donc l'approximation de la vraie valeur de la racine de 2: 1-24-51-10-6...

Les cotes de l'Esharra, 6/4, réplique de l'apsû, évoque le roi par son appellation numérique 10.
Ce rapport 6 et 4 indique la première étape de l'algorithme, métaphore désignant l’œuvre du créateur.

En choisissant le rapport 27/15 pour l'ensemble du texte en place de son tiers 7/8, cela permettait sur la figure du principe du T de Pythagore de donner au petit carré central de coté 21-15=6 une surface 6x6=36 égale au coté du carré général 15+21=36.
Cela indique le passage au nouveau cycle dans l'algorithme et aux années successives dans la genèse.

Autre méthode déduite facilement

 (5√2-7)au cube

ça marche bien mais c'est en fait moins efficace si on compte le nombre de calculs. 

Nebiru

Le cinquantième nom, Nebiru, qui conforte la suprématie du nouveau roi du ciel et de la Terre (Lugal ankia)est le nom de son étoile: Jupiter. Elle est appelé étoile blanche (MUL BABBAR)à comprendre aussi bien étoile soleil ou encore étoile jour (ce sont 3 des valeurs du signe U4). L'année terrestre correspond également au douzième de l'année jovienne.

La tablette de Yale

 Cette tablette rappelle les représentation de l'enuma elis et atteste que les mésopotamiens savaient calculer la racine carrée de 2, au début du second millénaire avant notre ère.
La valeur de la racine de 2 en base 60 (1-24-51-10) figurant sur la tablette, ne retient que la partie bonne de l'approximation. On ne peut donc pas  en déduire la méthode employée pour son calcul.

Synthèse tablette de Yale, système de mesure, algorithme

Le "scribe" se réfère à son système de surface. Le terme générique ou unité de référence est l'IKU. Le raisonnement se fait à partir de cette surface, comme nous le faisons avec le mètre carré.
L'IKU est un carré de 120 coudées de côté. Cela fait donc 120x120= 4x 3600 coudées carrées. C'est à dire 4 en unité d'ordre 2 (60 puissance 2). Cela correspond donc au carré élémentaire.
La représentation du carré dans Yale, 30x30, est égale à 900 soit 15x60.
En cunéiforme les chiffres sous-multiples de 60 désignent les fractions correspondantes:6 le dixième, 10 le sixième, 15 le quart, 20 le tiers, 30 la moitié, 40 les deux tiers...
La surface 15 (x60) du carré 30x30 signifie donc une surface d'un quart. Pour passer de ce carré abstrait au carré concret il faut

TROP FAUX, A REFAIRE
La surface à connaître (du savoir) est 6x6= 36. Sa valeur est indiquée par son milieu 18.Le texte l'indique par les 18 vers de la montée de Marduk, le fils, sur l'estrade royale au début de la 4ème tablette.

La création du premier cycle de la terre  est  terminée à 450+468=918 vers
La valeur recherchée qui crée les dimesions de surface sera atteinte en approchant 21. Le carré 36x36 est formé. Le rapport de sa surface aux 918 de T1àT6= 36x36/918=1296/918=1,41176... on se rapproche de √2.

Le cercle élémentaire, représentation du nombre PI

A ce stade on peut se demander si le récit de la création n'indique pas en plus les propriétés du cercle, complétant ainsi cet exposé des bases du savoir mathématique à la fin du second millénaire.
En effet, comme avec le rapport 21/15, approximation de la racine de 2, le récit expose une approximation du cycle: L'année est décrite en 12 mois de 30 jours soit un cycle annuel de 360 jours, qui a perduré dans nos degrés et nos heures.

Se pose la question du concept du nombre pi.

Cela reste hypothétique mais l'IKU donne un argument que je trouve convainquant:

Elle a été retenue comme unité de surface générique . Ce carré de 120 coudées de côté (60x60m) se comprend comme un carré élémentaire en unité d'ordre 1 (=60) du système sexagésimal: 260x260=460x60.

Un cercle circonscrit dans ce carré, donc de diamètre 2x60 , a un rayon de 1x60.

Sa surface est donc= pi .r² = pi .1.1= pi

Calcul du nombre pi : polygone

La méthode la plus simple consiste à considérer le cercle comme un polygone. Plus le nombre de côtés est grand, plus on se rapproche de la forme réelle.
C'est le principe utilisé par Archimède dans l'antiquité (voir Wikipédia).
A chaque étape on double le nombre de côté en les divisant par 2.

Seulement on ne part pas avec comme premier polygone un carré. On a vu que son côté serait la racine carré de 2.
On part donc plus naturellement du hexagone (6 côtés). Chaque côté est égal au rayon du cercel, c'est à dire 1.
C'est en quelque sorte le polygone élémentaire.

•  Au premier dédoublement on obtient un dodécagone, polygone de 12 côtés, représentant idéalement les 12 mois de l'année.
  
  La seule difficulté est le calcul de la racine carré de 243. On a vu plus haut que cela ne posait pas de problème. J'ai quand-même pris la calculette.
  
  La valeur de pi pour cette approximation est: 3,1058283
• Au second dédoublement, on obtient un polygone à 24 côtés (icosikaitetragone?), dans lequel on peut imaginer le dédoublement des saisons entre les 2 équinoxes ou l'alternance jour et nuit.
  
  La valeur de pi est alors: 3,1326..

On peut continuer autant qu'on veut, mais on ne voit pas quel intérêt cela aurait pu avoir à cette époque, en dehors des exercices scolaires.

Hypothèse d'un algorithme mésopotamien pour le calcul de pi

Cela parait possible ici. Le texte fait constamment référence aux cycles,  l'année MU.

On imagine quelque-chose de simple sur le principe du polygone comme pour Archimède. 

Première idée, on part d'un coté d'un hexagone, car le jour était découpé en 6 veilles. Ce côté correspondrait à 21-15= 6.

Cette approximation donne pi = 3

Au lieu de diviser le côté en 2, on double le rayon du cercle circonscrit.

On calcule la surface de la nouvelle portion et son rapport à celle du nouveau cercle. Cela donne un nombre de côté qui n'est pas entier. Puis une circonférence que l'on divise par le diamètre pour obtenir une nouvelle valeur de pi. On recommence...
Le raisonnement n'est pas très clair mais cela donne une jolie formule que je vais essayer de vérifier:

des points de susp au lieu du =
3,13 environ à ce stade, mais la calculette n'est pas assez puissante pour la précision demandée.
Et bien c'est faux, ça bloque à 1,1310..., même pas l'approximation qu'ils pouvaient obtenir en traçant dans un cercle un carré et un hexagone. Cela permet de calculer facilement le côté d'un polygone 24x15° et d'en déduire une approximation basse de pi =3,1326286...

Je laisse tomber pour reprendre comme base de départ le fait que outre le théorème de Pythagore et l'algorithme de la racine de 2, la figure lie ce dernier au calcul de l'apothème du polygone de côté 6 inscrit dans le cercle de diamètre 36 ou le carré de côté 36.
Apothème = 1/2 racine carrée(36x36-36)  or 36x36-36=1260 (nombre de demi-vers de T4 à T7)
Cela interroge parce que  450 est la moitié du carré de l'apothème dans un polygone pair à côté presque nul c'est à dire dont le périmètre serait égal à celui du cercle circonscrit de rayon 15.

Le système de mesure mésopotamien

Il existait une concordance entre les unités de longueur et les unités de temps. L'déogramme DANNA désignant l'heure double mésopotamienne (2 heurs actuelles) est un idéogramme composé:
KASKAL.GID
littéralement "chemin longueur".
Le danna était une distance de 10k800 environ, distance que l'on parcourt en marchant 2 heures à vitesse moyenne (ça dépend qui). 

Le découpage du cycle journalier en 12 heures est naturel correspond aux rapports des cycles terre-lune-soleil. Le point de repère "fixe" est donné par les étoiles. Très éloignées leur mouvement apparent propre est très faible d'une année à l'autre, à date et heure identiques.

L'observation des astres se faisait au coucher du soleil, les astrologues obsevaient leur lever à l'Est. Ce mouvement reflète en fait la rotation de la terre sur elle-même.


Le lendemain , au coucher du soleil, les mêmes étoiles se lèvent à l'est avec un décalage de 1 degré, soit un 360ème du cycle annuel  (à peu près).


En base sexagésimal 1/360 s'écrit 10 (à comprendre 10/3600)
10, U1 est homophone de U4, le jour, um en akkadien
Le signe U4 s'écrit comme le chiffre 21, nombre d'hémistiches de la seconde partie de l'Enuma Elish.

U1 et U4 21

U4 a aussi pour sens UTU soleil dans le nom Marduk AMAR-UTU (petit du soleil ou du jour donc) Babbar, blanc dan MUL BABBAR, Jupiter l'étoile blanche, le cinquantième nom qui lui confère la royauté.

Dans le même temps, d'un coucher à l'autre, la lune à un mouvement propre du trentième de son cycle, soit 12°:
Le jour est divisé en 12 DANNA.(2h)

Chaque DANNA, la lune a un mouvement apparent de 30° correspond au 12ème de la révolution terrestre .
Le DANNA est découpé en 30 USH (4 minutes ou 360m)

Le USH est ensuite subdivisé en 60 nindan, signe qui est aussi une variante du nombre 4, et le verbe GAR "poser, placer".

algorithme et trigonométrie

Le cercle trigonométrique de rayon 1 met en évidence les propriétés remarquables de certains angles: 22,5°  30°  45° 60°  67,5°

Leurs abscisses et ordonnées sont respectivement les cosinus et sinus:

             cos          sin      tg= sin/cos

22,5°                                     √2 - 1

 30°     √3/2          1/2

 45°     √2/2         √2/2

 60°     1/2            √3/2

67,5°                                    √2 + 1

0n retrouve les proportions de la figure avec la tangente de l'angle 45°/2 et son angle complément qui définissent les 2 angles opposés (22,5+67,5=90°) d'un triangle rectangle  de pente √2 - 1 et √2 + 1

Parmi les règles trigonométriques se démontrant facilement par a géométrie on retient:

tg a/2 = (1- cos a)/ sin a

Il suffit de tracer en haut de l'axe des ordonnées ou sinus, un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la corde de l'arc d'angle a.
Cette hypoténuse est le double du sinus de l'angle a/2,  sa pente est le rapport entre son coté vertical 1-cos a, et son coté horizontal sin a. Cette peut être matérialisée par le tracé de la tangente  a/2 parallèle à l'hypoténuse
La tangente de l'angle complémentaire est l'inverse de la tangente: sin a/ 1- cos a
d'où sin a (1+cosa)/(1- cos ²a) puis sin a (1+cosa)/( sin ²a)
et  cot a/2 =  (1+ cos a)/ sin a

donc  tg² a/2 = 1 - cos a /1 + cos a

Appliqué à l'angle 45°, cela donne 

tg 22,5° =  (1 - √2/2) / (1 + √2/2)
              =  (1 - 1/√2) / (1 + 1/√2)
              =  (1 - 1/√2)² = 1+ 1/2 - 2/√2 = 3/2- √2
On retrouve la première étape de l'algorithme avec l'approximation 3/2 pour la racine de 2

En observant  le cercle trigonométrique on décrit un carré central 1x1 avec sur ses 4 faces  des rectangles 1x (√2 - 1)
Pour atteindre le cercle il faut agrandir ces rectangles à 1x (√3 - 1). On peut le faire avec un compas car
√3 est la diagonale du rectangle 1 x √2
Dans le texte cela fait écho avec la création du ciel
Tablette 4 ,  vers 135 à 139
A tête reposée, le seigneur                       De Tiamat contemplait le cadavre:
Il voulait débiter la chaire monstrueuse    Pour en fabriquer des merveilles
Il la fendit en deux,                                  Comme un poisson à sécher,
Et il en disposa une moitié                       Qu'il vouta en manière de Ciel
Il en tendit la peau,                                    Y installant des gardes...

Puis au début de la tablette 5,  il définit l'année en 12 mois de 30 jours  comme le polygone à 12 côtés (12x30= 360°)
Si on numérote les angles de ce dodécagone la distance reliant chaque angle avec le 7ème qui le suit ou le 5ème qui le précède, est √3

Finalement le carré de l'hypoténuse est à comprendre comme le carré de √3, énoncé sous la forme de l'approximation, 666/15x15 ,
√3 étant l'hypoténuse de √2 compris comme un rectangle √2 x 1.
Le nombre pi serait exprimé en angles, 180, écrit donc 3 en base sexagésimal pour 3x60

l' iku 

Partant de ce fait le diamètre de l'année est la projection au sol de cet arc de cercle ou demi-cercle, sa valeur en distance est 120 , coudées car le sol étant la terre désigné par le terme ammatum au double sens de coudée.

L'iku est le déterminatif des unités de surface. C'est un carré large de 120 coudées, soit 12x12 x10x10 qui sont les variations du nombre  de vers des groupes T1T2T3 et T4T5T6 des 6 premières tablettes dédiées au récit de la création avant la glorification de T7.

L'unité de longueur de 120 coudées s'appelle l'eblu qui signifie "corde" comme pour l'arc-demi-cercle de la voute céleste.Son iédéogramme ES est homophone de 3 est de 30, signifie aussi fonder.

Précédé de 10, signe U1, il forme KI, idéogramme pour Terre pays.

Cela rejoint les dimensions de l'étemenanki, dont l'emprise au sol de 180 coudées est dite  aussi large que la largeur du 3ème étage de 120 coudées, par définition d'une grande coudée valant 3/2 coudée ordinaire

Le temple de 3 ou shalash

http://www.universalis.fr/encyclopedie/dagan-dagon/

Le périmetre du temple de Salomon, décrit dans le livre des rois est 3 (10+40+20+20  x2 =180)

Dans ce texte on trouve également 2 approximations donnant à pi la valeur de 3

 

 

Répartition des vers de l' Enuma Elish et théorème de Pythagore.

Le récit de la création est connue par les fragments de plusieurs dizaines d'exemplaires. La reconstitution la plus complète est celle de W.G. Lambert. Jean Bottero et S.N. Kramer en donne la traduction en français ("Lorsque les dieux faisaient l'homme", Ed. Gallimard).
La répartition des vers sur 7 tablettes, dont la septième est entièrement dédiée à la glorification du Roi Marduk, rappelle la genèse biblique.
Plusieurs particularités attirent l'attention:

• Le nombre de vers est un multiple de la base 60 des savants, 18x60 = 1080.
  Chaque vers est dédoublé en 2 hémistiches, soit un nombre parfait 6x6x60 demi-vers.
• Ces hémistiches son répartis en 2 groupes: 15x60 pour T1,T2 et T3 (T123) et 21x60 pour T4, T5, T6 et T7 (T4567).
• La répartition comporte de nombreux doubles-carrés:
  -T1 et T7 compte 2x 9x9 vers
  -T123 compte 450 vers soit 2x 15x15
  -T123456 compte 2x 15x15 + 2x 3x3 + 2x 15x15 vers
  -T23 compte 288vers soit 2x 12x12 vers ...

15x15  + 21x21 = 666

Conversion

Le principe appliqué ici est celui du système de mesure. Comme chez les anglais, les unités de mesure ne correspondent pas au système numérique. Avec le système métrique les unités de mesures sont des multiples et des puissances de la base, 10, 100,1000...Dans les autres système, pour les calculs cadastraux, il faut convertir les unités de mesure en nombres abstraits.
Chez les mésopotamiens, le nindan(6 mètres) vaut 1 , le GI (roseau 3 mètres) vaut 30 (car 30 est la moitié de la base 60), la coudée (50cm) vaut 5 (et donc 12 coudées font 1 nindan, en nombre absolu, 5x12=60 l'unité de la base numérique, écrite 1 car il n'y a pas de zéro).
Les vers sont répartis sur 7 tablettes comme sur les 2 côtés du triangle rectangle élémentaire.
Ses côtés sont 3 et 4, l'hypoténuse est 5.

• le côté 3 ou T123 comprend 15x60 hémistiches 
• le côté 4 comprend 21x60 unités

Le second vers donne l'explication: le mot employé pour "terre" est une forme ancienne de l'akkadien,"ammatum" qui a le double sens sens "coudée", unités de mesure valant environ 50cm.
Dans le système de conversion la coudée correspond à 5 qui l'hypoténuse du triangle rectangle élémentaire.

L'idéogramme DU3 dérivé du dessin d'un triangle, signifie "créer", "bâtir".
Quand le récit sera terminée, la création le sera également, la terre, la coudée (et le système de mesure) et 5 aussi.

Représentation de l'espace

En mathématiques modernes, l'espace euclidien est la représentation abstraite de celui dans lequel on évolue. Sans ce concept normé de chiffres et de repères, il reste le langage. Etymologiquement on remonte au sumérien, langue morte des savants babyloniens et assyriens (les 2 dialectes akkadiens)dans laquelle leur écriture avait été inventé 2 millénaire avant la composition de l'Enuma Elish.
La syntaxe est l'aspect abstrait du langage. La particule grammaticale sumérienne indiquant l'espace, c'est à dire le locatif ou complément de lieu, est le suffixe A représenté par l'idéogramme désignant un mot de même sonorité: l'eau.

En akkadien le nominatif mu traduit le A sumérien. C'est un féminin pluriel irrégulier: "les eaux". La forme normale, dérivée de la base me, aurait été matu homophone de matu "pays" et "matu" mourir.c'est en mourant que la matrice est devenu univers, remodelé par le dieu Marduk en ciel et terre "ammatum".

Sans détailler on peut ajouter ici que l'arme suprême de Marduk est le déluge "abubu"désigné par son emblême, la bêche marru (c'est un dieu agraire à l'origine) dont la graphie est littéralement un outil à eau (?? un bon bêchage vaut 2 arrosages?): c'est le moins de ce qu'il faut pour un déluge...

L'akkadien me étant homophone du nombre 100, ME en sumérien (me'atu en akkadien, at est le suffixe du féminin)

Dans le système numérique sexagésimal on peut le faire par une fraction: 100 est le 36ème de 3600 qui en tant qu'idéogramme désigne l'univers (SAR2).
Il suffit donc de tracer dans un carré 36x36, un petit carré, 6x6,égale au 36ème de sa surface:

 En unité d'ordre 1, c'est à dire 60 à la puissance 1, 36 est la longueur du texte en hémistiches: 2160 ou 36x60 = 2x1080 vers .

 L'iku et la naissance de Marduk

C'est l'unité de surface de base dont le signe sert de déterminatif, ou signe générique, indiquant dans une phrase idéographique le champ sémantique (qu'il s'agit d'unité de surface).
Le dieu suprême Marduk nait au milieu des 162 vers (324hémistiches) de la première tablette, vers 81 et 82.
        Au milieu de l'Apsû                        fut  créé Marduk
        Au milieu du Saint Apsû               fut créé Marduk
L'iku, en coudée ammatum est une surface de 144x100 ou 4x3600 coudées carré.
Dans la figure dessus cela correspond à 4 petits carrés 60x60x ou à un carré 2x60 sur 2x60.

Le thérème de Pythagore

Le texte est construit comme un rectangle:

On représente dans ce carré qui représente les eaux 100, le carré de l'hypoténuse selon lequel est organisé le texte:

Pas besoin de calcul pour comprendre le théorème de Pythagore:" le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle (=diagonale d'un rectangle) est égale à la somme des carrés de ses 2 côtés".

Il suffit de déplacer les rectangles colorés (en pastel oui!) d'une figure à l'autre pour comprendre.

L'Apsû

En observant le texte et en s'intéressant à la création proprement dite, sous l'abord  développé plus haut, considérer les lignes de textes comme des coudées, on relève que le nombre de vers de T1 à T3 est le double du carré de 15,  comparable à l'hypoténuse/diagonale d'un carré.
De T4 à T6 on décompte 468 vers. En lisant le texte on s'aperçoit que les 18 premiers décrive la montée de Marduk sur l'estrade royale. Il vient d'être désigné par ses pairs pour affronter la matrice Tiamat. Cela constitue donc comme un sommet avant les 450 vers suivants, nouvelle diagonale dans laquelle Marduk tue la matrice, la coupe en 2 et crée dans sa patie supérieure le ciel avec le système astrale et là où il a divisait Tiamat, Babylone et son complexe religieux, l'Esagil avec sa tour Etemenanki.
C'est le monde des hommes à la surface de l'en-bas où sont enterrés les morts.

Le premier vers de la première partie T123, indique les dimensions de l'Apsû, la demeure d'Ea, le père de Marduk. Ses 2 hémistiches comptent 5 et 7 idéogrammes.

L'Esharra 

Le premier  vers de la seconde partie T456 donnent les dimensions de l'Esharra, réplique de l'Apsû, demeure de Marduk, fils d'Ea.

  L'IKU

La représentation graphique des demeures d'Ea et de Marduk ont en commun de représenter l'Iku, le déterminatif des surfaces (12x12x10x10, = 4x3600 coudées/ammatum-carré).

Variation du nombre de vers entre les tablettes.

 

Ecriture cunéiforme et base 60: métaphores

Le titre du blog, le nouvel an, vient de du début de mon intérêt à ce sujet. Je ne suis ni linguiste ni mathématicien.
En lisant un magasine de mes enfants, Eureka (équivalent de science et vie junior), j'apprenais que notre système de mesure des angles et du temps remontait aux mésopotamiens.
Si pour la vie courante, le peuple utilisait un système décimal comparable à celui des romains, avec des unités, dizaines, centaines et milliers, leurs savants se servaient d'un système sexagésimal (=de base 60) pour les mesures astronomiques, mais aussi métrologiques.

Il nous est familier, car ce sont nos heures, 60 minutes, 3600 secondes, et nos 360 degrés.
Pour les mesures angulaires de la position des astres, on comprend facilement qu'il était bien pratique. Le cercle formé par l'horizon, de 360 degrés,  correspond à la description faite dans l'enuma elish, d'une année de 360 jours, répartie en 12 mois de 30 jours.
La voûte céleste offrait ainsi chaque jour un aspect variant d'un 360ème avant de reprendre la position initiale (à 5 jours près).
Par contre, pour le calcul mental, c'est loin d'être évident, même avec l'habitude de contraintes de déplacements.A cette époque, le système numérique ne permettait d'écrire que les nombres entiers (1, 2, 3, 4...).
 Pour les décimales (les chiffres après la virgule) il fallait recourir:

•  aux fractions pour les nombres rationnels (une suite de nombres finie après la virgule)
• des concepts abstraits, pour les irrationnels comme la racine carrée de 2 (1.4142135...) ou bien des approximations suffisantes à l'occasion.

C'est le cas par exemple de l'année décrite en 360 jours. Enregistrant quotidiennement leurs observations depuis des siècles, leurs astronomes savait que le mois lunaire apparent est de 29 jours et demi, et très certainement que l'année solaire comptait 365 jours. Au bout de quelques années le décalage nécessitait le rajout de mois supplémentaires.
Même sans instrument perfectionné, il suffit de pointer un repère sur une étoile lointaine, reconnaissable par sa constellation
 ( la figure connue formée avec les étoiles proches), pour connaître précisément la durée de l'année. Elle reprend alors la même position. Et de plus en plus précisément avec le calcul de la moyenne.

L'écriture cunéiforme

La civilisation mésopotamienne est le mélange de 2 principaux peuples d'origine différentes: les sumériens et les akkadiens (babyloniens et assyriens).
L'écriture a été inventée à la fin du quatrième millénaire par les sumériens. Au départ il s'agissait de dessins tracés sur des tablettes d'argile. Le dessin d'un pied pouvait signifier "marcher", une part de pain devant la bouche d'une tête "manger".
Il s'agissait donc d'une écriture idéographique. Ce type d'écriture permet d'exprimer en 2 signes des notions complexes. Par exemple, le signe 4 dessiné dans une bouche, prend le sens "élever au carré", 4 = 2x2, étant le carré élémentaire.
La technique d'écriture, un calame fait d'un roseau taillé en biseau imprimant une tablette d'argile, transforme les dessins initiaux en assemblages de coins , d'où le qualificatif cunéiforme. Les mésopotamiens appelaient également leurs caractères de base SANTAK, ce qui signifie "triangle".

En 2350 avant notre ère, Sargon 1er unifie les anciennes cités-états en un seul empire. Sa capitale est akkad, d'où le nom akkadien. La légende de sa naissance a été reprise par Moïse, posé dans un panier sur un fleuve puis adopté.

Peu à peu la langue sumérienne est supplantée par l'akkadien. L'écriture est transposée à une structure linguistique totalement différente. Les suffixes, préfixes et autres particules marquant la syntaxe n'ont aucun équivalent en akkadien. Le phonétisme se développe pour s'adapter aux particularités de cette nouvelle langue.
 Au second millénaire l'akkadien se sépare en 2 dialectes principaux, l'assyrien au nord, le babylonien au sud. Au 18ème siècle, Hammourabi, 6ème représentant d'une dynastie amorrite ( territoire au nord-est du liban) établit un nouvel empire à Babylone.

Cependant, le sumérien, devenu langue morte, continue à être enseigné. C'est la base de l'écriture. L'akkadien est transcrit comme une sorte de rébus fait de mots sumériens. Les possibilités de jeux d'écriture se multiplient, pouvant n'être accessibles qu'à quelques initiés.

Par exemple, le nom Babylone, Babil(u), était écrit KA-DINGIR-RA-KI.

Le signe KA, "porte" en sumérien donne le phonème akkadien "bab" de "babu" porte."
DINGIR, dieu en sumérien devient "il" ou "ilu"en babylonien.
Les suffixes sumériens RA et KI indiquent un jeu d'écriture différent du phonétisme.
RA marque le datif, l'appartenance: "la porte aux dieux".
KI précise qu'il s"agit d'une cité.
En sumérien, la valeur phonétique KA désigne par un autre signe la "bouche" avec entre autres connotations "parole".
L'expression prend un second sens, la cité de la parole des dieux.

Au cours des siècles le nombre de signe a été réduit à environs 600, autant que le nombre de dieux.
Chaque signe comporte une ou plusieurs valeurs sémantiques, ciel ou dieu pour celui dérivant du dessin d'une étoile.

La base 60.

Le nouvel an babylonien

La fête de l'Akitu et l'Enuma Elish

Reposant sur une économie agricole, la société mésopotamienne s'organisait selon les cycles des saisons. L'activité sociale était rythmée par le suivi des plantations, la succession des lunaisons, le renouvellement des années.
Le nouvel an, indiqué par l'équinoxe du printemps (aux alentours du 20 mars), était célébré par la fête de l'Akitu.

La vie était perçue comme la réalisation des plans divins. Les décisions des dieux, à l'issue d'assemblées célestes, étaient inscrites sur la tablette des destins que détenait leur roi, Marduk, à l'époque de Babylone. Ils étaient ainsi figés dans l'argile avant leur réalisation sur terre, sous la responsabilité d'un panthéon de 7 dieux.

L'idéogramme SAR1, "écrire", désignait également un jardin  et une surface carrée de 12 coudées de côté
 (6 mètres sur 6). Une bonne récolte était gage que tout allait bien.

A Babylone, la fête de l'Akitu durait 12 jours, autant que de mois lunaires dans l'année.

2 expressions désignaient
 le nouvel an:

• SAG-MU: littéralement "tête" de l'année".
• IGI-MU: "oeil de l'année", à comprendre "face de l'année" ou "premier de l'année" par le connotations du signe IGI, "oeil" en sumérien.
  Les jours, ou les cycles, étaient donc perçus comme une pile de disque, un ensemble, dont on ne voyait que l'élément du dessus.

 Le soir du quatrième jour, le roi déclamait l'Enuma Elish au pied de la ziggurat de Babylone, l'Etemenanki (la tour de Babel).

Ce récit religieux majeur, appelé aussi Epopée de la Création, raconte en sept tablettes, la naissance des dieux et la formation de l'univers, ciel et terre "an-ki", la construction de Babylone, son complexe religieux, l'E-sag-il (temple-sommet-élevé) et sa tour.

Résumé de l'Enuma Elish:

Au départ l'univers est formé de 2 prodivinités, Ti-amat (la mer) et Apsû (la nappe phréatique).

Lorsque en-haut, le ciel nétait pas nommée,
qu'en bas la Terre, d'un nom n'était pas appelée...

Les mésopotamiens nommaient leurs récits par les premiers mots. Enuma Elish signifie "lorsque là-haut".

Tiamat et Apsû, qui jusque là mélangeaient sans trouble leurs eaux salées et douces, enfantent des dieux.
Dans la première tablette, Apsû, importuné par le désordre créé, projette de tuer les dieux. Devinant ses plans, le dieu Ea ("intérieur de l'eau")l'endort par un philtre et le met à mort.
Il fait de sa dépouille sa demeure. Siégeant au milieu avec son épouse Damkina, il donne naissance à un fils, Marduk, suréminent sur tous les plans. Il a 4 yeux et 4 oreilles (signifiant tout aussi bien qu'il voit et entend 4, au sens de comprendre).
Il est désigné par ses pairs pour affronter Tiamat en furie, résolue à venger la mort de son époux Apsû.
Au début de la quatrième tablette (T4), Marduk monte sur l'estrade royale.
Puis armé de 4 vents et de son arme divine, abubu, "le déluge" il engage le combat et tue Ti-amat en la perçant d'une flèche au vers 102  de cette tablette.

Il coupe son corps en 2, créant le ciel avec la partie supérieure dont le fois constitue la voûte céleste.
Il prend les cotes de l'Apsû pour établir un nouvel Apsû au ciel, sa demeur l'Esarra ("temple de toutes les eaux").
Il établit les 4 phases lunaires et règle le soleil pour former l'année en 12 mois lunaires de 30 jours.

Les dieux édifient alors sur Terre une demeure pour les accueillir, l'Esagil à Babylone. Ils mettent 2 années pour construire sa tour, l'Etemenanki:

• une année pour mouler ses briques d'argile
• une année pour en élever le faîte.

La création proprement dite se termine à la fin de la sixième tablette (T6) par une liste de 10 noms, conférant à Marduk une appellation numérique connue ailleurs, le "dieu 10".
Les 600 dieux Igigi (écrit 5-60-60) sont répartis en 2 groupes, 300 au ciel et 300 en bas.

La septième tablette est entièrement dévolue à la glorification de Marduk qui reçoit les 40 noms de son père Ea  (le "dieu 40")comme autant de pouvoirs. Ce total de 50 noms légitime sa suprématie, remplaçant l'ancien roi Enlil (le "dieu 50"). Enlil confirme ce nouvel ordre en lui offrant un premier nom supplémentaire Enkurkur "seigneur de tous les pays". Enfin, Ea, son père, lui donne un 52ème nom, le sien. Marduk, le fils, devient Ea, le père, créateur de l'humanité et détenteurs des "ME", les principes de la civilisation.

interprétation:

 

La simple traduction ne rend pas la grandeur d'un texte qui a rayonné sur l'antiquité pend plus d'un millénaire. Le récit apparaît simpliste, empreint de naïveté et d'archaïsme.
C'est la mise en forme du texte, toujours recopié à l'identique, qui en fait un chef d'oeuvre extraordinaire, reléguant les éléments du récit au rôle de métaphores accompagnant le cheminement d'un raisonnement d'un niveau de pensée inouïe.

Nous verrons au fil du raisonnement le sens des métaphores qui découlent des jeux phonétiques et graphiques de l'écriture cunéiforme. Comme il s'agit d'un blog, on peut se permettre de se tromper, je m'en aperçois régulièrement moi-même. Plus ou moins tout , ici, est à vérifier ou peut être interprété différemment. Le but est d'avancer  dans la compréhension, bien des points me sont obscures.

Le dernier idéogramme du texte, TI, la "vie" indique que le sens de l'oeuvre est d'en comprendre les origines, son premier cycle, ce qui le définit comme une genèse.

L'expression IGI-MU, nouvel an, se prête à des jeux de mots.
Le siggne IGI sert en effet également de chiffre 1000, LIM.
IGI-MU peut donc s'entendre également comme LIM-MU, limmu, le nombre 4 en sumérien, la langue morte de leurs savants qui parlaient le babylonien.
MU a 3 sens qui se marrient au texte: "année, mot et ligne de texte".
En babylonien l'homophone mu signifie les eaux.

les 2 entités du départ, le féminin et le masculin, constituant la racine carrée de 4. Le raisonnement est d'une logique évidente . Si 4 est le carré évident de 2, tout comme il faut un père et une mère pour faire des enfants, en comprendre l'origine est beaucoup plus compliqué: c'est calculer la racine de 2. C'est aussi le symbole du savoir, l'Apsû.

Pour ce faire, la répartition des vers décrit une figure géométrique montrant à 3 reprises le principe du théorème de Pythagore.
Le point commun avec la racine carrée de 2, est qu'elle est le rapport entre la diagonale (hypoténuse) d'un carré et son côté.
On verra ensuite que les 6 premières tablettes décrivent un carré de côté 30 soixantaines comme la tablette de Yale. La septième l'agrandit en un carré représentant toutes les eaux, de 36 soixantaines de côté , ce qui correspond au nombre de demi-vers des 18x60 ligne du texte, construit selon la base 60 des savants sumérien.
Le mode de calcul de la racine de 2 se présente comme une suite logique. Le carré initial est allongé en un rectangle avec un reste.
Cela est indiqué par les 2 vers supplémentaires qui porte le nombre à 52 au lieu de 50 (le double du carré 5x5) et une anomalie du texte 2 vers supplémentaires , qui nous indique de répéter le raisonnement à son début, vers 81 et 82 qui annonce la naissance de Marduk.  En effet on a vu plus haut que 1000, l'idéogramme LIM est aussi IGI "voir".